8. Введение в логарифмы

8. Введение в логарифмы

Почему мы используем логарифмы?

Во времена, предшествовавшие появлению калькуляторов, для упрощения сложных вычислений были разработаны логарифмы. Намного проще складывать числа, чем перемножать их. Аналогично, намного легче вычитать числа, чем делить их, и первоначальное назначение логарифмов было дать возможность реализовать это упрощение.  Сегодня большинство людей для сложных вычислений использует электронные калькуляторы, и редко использует логарифмы для этих целей. Однако, понимание того, как работают логарифмы, является особенно важным в радиационной защите, так как оно дает основу для понимания механизма радиоактивного распада.

2.2     Что такое логарифмы?

Логарифмы используются для преобразования чисел в степени наперед заданного основания.

Логарифм числа (по некоторому основанию) есть степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

Например, число y может быть записано как число b возведенное в степень x:

y = bx [1]

Напомним, что логарифм числа есть степень, в которую возведено его основание, чтобы дать это число. Если Вы примените это определение к числу y, log y по основанию b (logb) равен x.  Это записывается следующим образом:

logb y = x [2]

2.3     Преимущества логарифмов

Вы помните из раздела 3, что умножение и деление чисел, возведенных в некоторую степень, ведется путем сложения или умножения показателей степеней. В этом состоит преимущество логарифмов.

2.4     Правила логарифмирования

Правила возведения в степень могут быть переписаны на языке логарифмов, как это показано на рис. 2. Эти правила применяются ко всем логарифмам, но помните, что основание должно быть одинаковым во всех частях уравнения.

Правила логарифмирования

2.5     Десятичные и натуральные логарифмы

Обычно используются два основания для логарифмов ─ основание 10 (наша обычная система счисления) и основание e (где e есть бесконечная дробь приблизительно равная 2,718 и которая играет особую роль в радиационной защите).  Логарифмы по основанию 10 называются в англоязычной литературе common logs (общепринятые логарифмы), (или логарифмы Бриггсиана), а в русскоязычной литературе они называются десятичными логарифмами,  в то время как логарифмы по основанию e называются натуральными логарифмами (или логарифмами Напериана).

1.     Десятичные логарифмы

1.1     Введение в десятичные логарифмы

Напомним, что десятичные логарифмы это логарифмы по основанию 10.  Они могут быть записаны как, но обычно обозначаются как log (В русскоязычной литературе используется обозначение lg).  Следовательно десятичный логарифм может быть записан в виде:

log y = x [1]

где y есть число, десятичный логарифм которого Вы хотите найти, а соответствующее ему значение десятичного логарифма.

1.2     Как найти десятичный логарифм числа

Существует два способа нахождения десятичного логарифма числа. Наиболее удобный путь – использовать научный калькулятор. Другой, более традиционный метод состоит в использовании таблиц десятичных логарифмов. Использование таблиц десятичных логарифмов детально продемонстрировано в приложении А. Если у Вас нет доступа к научному калькулятору, Вам понадобится изучить этот метод вычисления десятичных логарифмов. Если у Вас есть научный калькулятор, Вам нет нужды изучать этот метод, но Вы можете поинтересоваться, как это делается.

Так как различные виды калькуляторов вычисляют десятичные логарифмы различными способами, то не представляется возможным объяснить все методы в этом модуле. В общем случае, однако, нажимая на кнопку ‘log’ на Вашем калькуляторе, либо перед, либо после набора того числа, десятичный логарифм которого Вы хотите найти, Вы должны достичь успеха в нахождении соответствующего значения логарифма.  Попытайтесь рассчитать следующие логарифмы, используя научный калькулятор:

a)    log 1

b)    log 10

c)    log 100

Вы должны получить ответы a) 0, b) 1 и c) 2 (как Вы уже получили, выполняя задание 1 вопросов для самопроверки 4).

Если у Вас возникли затруднения при нахождении десятичных логарифмов на Вашем калькуляторе, советуем обратиться к инструкции для Вашего калькулятора, или попросить Вашего научного руководителя помочь Вам.

1.3     Антилогарифмы логарифмов

Теперь Вы знаете, как найти десятичный логарифм некоторого числа. Однако, часто необходимо быть готовыми к переводу известных значений десятичных логарифмов обратно в числа. По определению, это делается с помощью обращения уравнения 1 in разделе 5.1 известно под названием вычисления антилогарифма значения десятичного логарифма.  Математически антилогарифмы десятичных логарифмов сокращенно обозначаются как log-1 (в русскоязычной литературе lg-1), так что уравнение антилогарифмов может быть записано в виде:

y = log-1 x [2]

где y есть число, соответствующее известному значению логарифма этого числа, дающее x.

1.4     Как найти антилогарифмы десятичных логарифмов

Простыми словами, чтобы найти значение числа по его десятичному логарифму нам нужно использовать калькулятор, либо таблицы логарифмов в обратном порядке. Метод нахождения антилогарифмов по таблицам логарифмов детально описан в приложении А, но с помощью калькулятора это сделать проще. В общем случае, Вы можете найти антилогарифм значения десятичного логарифма нажимая кнопки ‘shift’ или ‘inverse’ на Вашем калькуляторе, а затем кнопку ‘log’ либо перед, либо после набора числа, антилогарифм которого Вы хотите найти. Попробуйте подсчитать следующие антилогарифмы, пользуясь своим калькулятором:

a)    log-1 0

b)    log-1 1

c)    log-1 2

Вы должны получить ответы a) 1 b) 10 and c) 100.  (отметим, что обратные расчеты Вы уже проводили в разделе 5.2).

Опять-таки, если у Вас возникли некоторые трудности при использовании Вашего калькулятора для вычисления антилогарифмов, советуем обратиться к инструкции для Вашего калькулятора, или попросить Вашего научного руководителя помочь Вам.