6. Возведение в степень и экспоненциальная запись

6. Возведение в степень и экспоненциальная запись

При измерении или расчете величин, встречающихся при исследовании радиоактивности или в радиационной защите, могут возникать случаи, когда значения величин являются либо чрезвычайно малыми, либо очень большими. Удобно записывать эти числа способом, который облегчает их использование. Одним из путей для этого является использование операции возведения в степень и экспоненциальной записи.

1.1     Возведение в степень

Возведение числа в некоторую степень есть результат умножения этого числа на себя число раз, равное числу, выражающему степень.

Например,

22 есть то же самое, что и 2 x 2, или 2 в степени 2.  В общем случае говорят, что это два в квадрате.

23 есть то же самое, что 2 x 2 x 2, два в третьей степени.  В общем случае говорят, что это три в кубе.

Число 2 называется основанием, а число 3 – показателем степени. Говорят при этом, что число записано в экспоненциальной (показательной) форме.

В общем виде bp описывается как b возведенное в степень p, что что же самое, что b, умноженное на себя p раз.

1.1.1     Умножение и деление

Умножение и деление чисел, записанных в виде степеней, производится по правилам, действующим для случая чисел с одинаковым основанием.

Когда числа, содержащие показатели степени, перемножаются, показатели складываются

bm x bn = bm+n [1]

Например:

22 x 23 = 25

Докажите это, вычисляя значения 22, 23 и 25.

Особым случаем является случай умножения числа, записанного в экспоненциальной форме, на себя n раз:

bm x bm x bm x bm x (n раз) = bm+m+m+m+(n раз) = (bm)n

Следовательно, число, записанное в экспоненциальной форме, умноженное n раз на себя

(bm)n = bmn [2]

Например,

(22)2 = 22 x 22 = 24

Докажите это, вычисляя значения 22 и 24.

Когда числа, записанные в экспоненциальной форме с одинаковым основанием, делятся друг на друга, то показатели степени вычитаются:

bm ÷ bn = bm-n [3]

Например,

25 ÷ 22 = 25-2 = 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Докажите это самостоятельно, вычисляя значения 25, 22 and 23.

1.1.2     Дробные, нулевые и отрицательные показатели степени

Показатель степени не должен быть натуральным числом, но может быть простой дробью, либо десятичной дробью. Если показатель степени имеет вид 1/n, где n – натуральное число, он называется корнем степени n.  Если n равен 2, то такая степень называется корнем второй степени, или квадратным корнем, если n равно 3, это – корень третьей степени или кубический корень, если n равен 4, он называется корнем четвертой степени и т.д.

Например,

91/2 = корень квадратный из 9 = √9 = 3

81/3 = корень кубический из 8 = 3√8 = 2

b1/m означает корень степени mth (из) числа b:

b1/m = mb [4]

Бывает, что показатель экспоненты оказывается равным нулю. В этом случае применяется общее правило, согласно которому любое основание, возведенное в степень 0, равно 1.

Любое основание с показателем степени 0 равно 1:

b0 = 1                                                                        [5]

Например,

10 = 1

20 = 1

Если показатель степени является отрицательным числом, например, 2-3, это значит, что результат обратен положительному показателю степени, т.е. равен единице, деленной на степень числа с положительным показателем (1/23).

Если показатель степени является отрицательным числом, результат обратен положительной степени того же числа:

b-p = 1/bp [5]

Например,

10-1 = 1/10 = 0,1

10-2 = 1/102 = 1/100 = 0,01

10-3 = 1/103 = 1/1000 = 0,001

1.1.3     Резюме правил возведения в степень

Правила работы со степенями

1.1.4     Использование научного калькулятора для возведения в степень

Научный калькулятор может быть использован для возведения чисел в степень. Хотя способы вычисления могут меняться от калькулятора к калькулятору, основной метод состоит в том, чтобы использовать кнопку xy (или yx).  Сначала нажмите на число, соответствующее основанию степени (например, 2 при вычислении 23), затем нажмите кнопку xy (или yx).  Наконец, нажмите число, соответствующее показателю степени (например, 3 при расчете 23).  Отметим, что некоторые калькуляторы могут иметь кнопку x1/y (или y1/x) которую можно использовать аналогичным путем для вычисления степеней с дробными показателями.  Если у Вас есть научный калькулятор, вы могли бы попрактиковаться, используя примеры возведения в степень, приведенные выше. Если у Вас нет научного калькулятора, Вы должны вести расчеты вручную, либо, используя логарифмы (см. Раздел 2).

1.1.5     Основание 10

Обычно числа записываются на основании десятичной системы, например, всегда, когда мы заканчиваем одно множество единиц, мы переходим к другому множеству по правилу:

10 единиц дают значение десять (10).

10 раз по 10 дают сто (100 or 102).

10 раз по сто дают одну тысячу (1 000 or 103).

10 раз по тысяче дают десять тысяч (10 000 or 104).

Мы называем эту систему системой с основанием 10 или десятичной системой. Другие основания, используемые в некоторых отраслях, есть 2 (бинарная система, используемая в электронике) и 16 (шестнадцатеричная система, используемая в компьютерной технике).