5. Алгебра

5. Алгебра

Алгебра – область математики, используемая для решения задач.  Уравнения составляются в ней таким образом, что буквы обозначают неизвестные величины. В результате получается некоторое соотношение между известными и неизвестными величинами. Например, y = b + 2 означает, что величина y всегда на две единицы больше, чем величина b.

Что означают уравнения

Уравнение есть математическое предложение, которое связывает две и более величин. Уравнения могут быть использованы для определения величины того или иного фактора, который изменяется из-за изменения другого, связанного с ним фактора.  Хорошим примером этого является простое уравнение, связывающее температуру, измеренную в градусах Цельсия (ºC), и ту же самую температуру, измеренную по шкале Фаренгейта (ºF):

F = 1,8C + 32

Это уравнение означает, что одно деление шкалы Цельсия составляет 1,8 деления шкалы Фаренгейта.  (Между точками замерзания и кипения воды в шкале Цельсия имеется 100 делений, а в шкале Фаренгейта – 180 делений). +32 означает, что между шкалами Цельсия и Фаренгейта есть разница на 32 деления Фаренгейта, т.е. 0ºC, точка замерзания воды, соответствует 32ºF.  Это уравнение может быть использовано для нахождения как эквивалент температуры в Цельсиях значения температуры в Фаренгейтах.

Пример

Сколько будет 25ºC по Фаренгейту?

C = 25

F = 1,8C + 32

Подставим сюда C = 25

F = 1.8 x 25 + 32 = 77

Это значит, что 25ºC эквивалентны 77ºF.

Уравнение может быть составлено на основании какой-то информации. Например, необходимо аналоговую шкалу для монитора ионизирующего излучения, для которого положение индикаторной стрелки на шкале эквивалентно удвоенному значению тока, протекающему через детектор. Если обозначить положение стрелки буквой x, а тока буквой c, мы сможем составить уравнение

x = 2c

Если стрелка находится на делении 3, когда ток равен нулю, то есть существует начальный сдвиг на 3 деления, уравнение принимает вид

x = 2c + 3

Это уравнение может быть использовано для расчета положения стрелки для любого значения тока путем подстановки значения тока в это уравнение.

Для c = 1, значение x равно 5.

Аналогично, для c = 2, x = 7, и т.д. для любого значения c.

!

В этой системе записи уравнений, 2c означает 2 умножить на c.  Другие способы записи 2 умножить на c таковы: 2×c или 2*c.  Точка или звездочка может быть использована, чтобы избежать путаницы с x, который иногда используется для обозначения знака умножения, либо для обозначения неизвестной величины.

Также  означает 2 делить на a.  Другой способ записи 2 разделить на a есть 2/a.

2.1     Преобразование уравнений

Материал, приведенный ниже, показывает, как уравнения могут быть преобразованы для того, чтобы найти значение одной из величин:

Простейшее правило, которое следует запомнить, состоит в том, что две части уравнения должны рассматриваться в точности одним и тем же путем. Изменяя одну часть при преобразовании уравнения, Вы должны всегда проделывать то же самое и со второй частью.

Все, что Вы делаете с одной частью уравнения, Вы должны делать то же самое и с другой его частью.

Это может быть продемонстрировано на следующих примерах:

Y = 2a + 3d

Чтобы выразить 2a, нам нужно вычесть 3d из правой части.  Если мы вычтем 3d справа мы должны сделать то же самое и слева, чтобы сохранить баланс, следующим образом:

Y = 2a + 3d

Y – 3d = 2a + 3d -3d

Y – 3d = 2a

Другой подход: изменить сторонуизменить знак.

Это тоже можно наблюдать для дробей в следующем уравнении:

Для вычисления a нужно оставить его с одной стороны уравнения. Этого можно достичь следующим образом:

Умножим каждую часть на 3d

S x 3d = x 3d

Как отмечалось выше, S умножить 3d может быть более ясно записано как 3dS:

3dS = 2a

Разделим обе части на 2 :

Мы выразили a через S и d.

Следует быть внимательным, когда в знаменателе имеется более одного члена, как, например, 3d + 2b.  Иногда используются скобки, чтобы связать слагаемые вместе.  (Это – хорошая мысль, и Вам будет легче избежать ошибки). Пример приведен ниже:

S =

S(3d + 2b) = .(3d + 2b)

S(3d + 2b) = 2a

Слагаемые внутри скобок связаны между собой; Вам следует помнить, что для того, чтобы произвести такие же расчеты для каждой величины в скобках, если Вы хотите перенести их в другую часть уравнения. Член, находящийся вне скобок, умножает каждое слагаемое, содержащееся в скобках. В результате уравнение принимает вид

3dS + 2bS = 2a

Заметим, что порядок, в котором записываются числа и буквы, не важен. Иными словами, 3dS будет то же самое, что и 3Sd, и dS3, или S3d, либо любая другая комбинация.  Однако, принято писать число первым, а остальные буквы располагать в алфавитном порядке.

Чтобы выразить a, необходимо разделить левую часть этого уравнения на 2.  Отметим, что каждое слагаемое должно быть разделено на 2.

=

dS + bS = a

Теперь примените этот же метод для того, чтобы выразить b.

Начните с выражения S =

Вам следует совершить следующие Этапы:

S =

S(3d + 2b) =  (3d + 2b)

S(3d + 2b) = 2a

=

3d + 2b =

3d – 3d + 2b = – 3d

2b =  - 3d

b =

b =

Как только Вы поймете, каким образом производится преобразование уравнений, Вы обнаружите, что Вам не нужно выписывать простейшие этапы, например,

2b =  - 3d

будут записаны так:

b =

без промежуточного Этапа.

2.2     Резюме по процедурам решения уравнений

  • Знак числа или неизвестного изменяется на противоположный при переносе из одной части уравнения в другую.
  • Когда буквы и числа следуют друг за другом, они перемножаются.
  • 2a, или 2×a, или 2*a есть более краткие записи 2 x a.
  • Когда буквы и числа появляются одно над другим, число сверху (называемое числителем) делится на число, находящееся снизу (знаменатель).
  • или a/2 являются краткими способами записи a ¸ 2.
  • Когда знаменатель переносится в другую часть уравнения, он становится числителем.
  • Когда числитель переносится в другую сторону уравнения, от становится знаменателем.
  • Когда числитель или знаменатель содержит более одного числа, связанных между собой знаками  + или – , они должны быть связаны друг с другом скобками и рассматриваться как один член до тех пор, пока не могут быть легко разделены.