4. Основы математики

4. Основы математики

1.     Округление

Округление числа означает введение ограничения числа цифр (отдельных чисел), которые используются при учетной записи числа.  Существуют определенные правила, которые помогают решить, в каких случаях числа должны быть округлены, и как они должны быть округлены. Этот раздел поможет Вам понять эти правила и корректно применять их.

Проводя вычисления, числа, которые Вы используете в своей работе, будут представляться в одной из следующих форм:

  • Целые числа                                          1;32;512
  • Десятичные дроби с целой частью   2,5;40,67;600,2
  • Простые десятичные дроби               0,1;0,03;0,007
  • Обыкновенные дроби

Для удобства простые дроби будут использоваться только при получении результатов вычислений в разделе «Алгебра» данного модуля. Обыкновенные дроби могут быть преобразованы в десятичные дроби, путем деления числа, находящегося выше черты (числитель), на число, находящееся ниже черты (знаменатель). Например,  могут быть записаны, как 3 ¸ 4 = 0,75.

В данном материале десятичные знаки будут обозначаться запятой ‘ , ‘, например, 2,1 (в англоязычной литературе используется ‘ . ’). Тысячи будут отмечаться интервалом между цифрами, изображающими сотни и тысячи, например, 13 456 означает тринадцать тысяч четыреста пятьдесят шесть.

1.1     Значащие цифры

Число цифр, которые должны быть оставлены для выражения результата вычисления, зависит от типа (этапа) вычисления и от его необходимой точности. Одним из способов ее установления является принятие решения о числе значащих цифр, подлежащих сохранению. ‘0’ не является значащей цифрой, если только он не стоит между двумя другими числами, например, 103, или если он не является последним десятичным знаком, например, 2,10.  (Оба эти числа являются примерами чисел с тремя значащими цифрами). Например, число 13 456 с точностью до двух значащих чисел может быть записано как 13 000 (отметим, что нули не являются здесь значащими цифрами).  Этот способ записи является удобным для представления результата, однако он не указывает на размер ответа.  Например, 13 000 и 2,1 могут оба представлять результат округления до двух значащих цифр. Число значащих цифр может, однако, быть показателем точности задания числа. Это является одним из основных факторов, определяющих сколько значащих цифр следует удерживать.

1.2     Как пользоваться округлением

Округление может быть осуществлено путем учета необходимого количества значащих цифр, как это обсуждалось в последнем параграфе, либо как  резервирование десятичных разрядов. Число десятичных разрядов есть число десятичных знаков после запятой. Например, число 2,10 имеет два десятичных разряда (но три значащие цифры).

В обычной практике округление производится с повышением, если цифра, подлежащая округлению, больше, либо равна пяти. Например, числа 2,55, 2,56, 2,57, 2,58 and 2,59 запишутся как 2,6 при округлении до двух значащих цифр. (или одного десятичного разряда).  Числа 2,50, 2,51, 2,52, 2,53 и 2,54 запишутся как 2,5 при округлении до двух значащих цифр (или одного десятичного разряда).  Такая операция называется округлением с понижением, и обычно применяется, если цифры не превышают значение 5.

В табл. 1 показано, как используются значащие цифры, десятичные разряды при округлении.

Таблица 1

Значащие цифры, десятичные разряды и округление

Рассчи­тан­ноезначение Число значащих цифр Число десятичных разрядов
Четыре Три Два Четыре Три Два
525,7910 525,8 526 530 525,7910 525,791 525,79
0,003417 0,003417 0,00342 0,0034 0,0034 0,003 0,00

1.3     Когда использовать округление

Существуют две принципиальных причины, почему следует округлять числа, а именно, чтобы

дать ответ, имеющий смысл,

показать точность измерения.

Для некоторых расчетов ответ приобретает смысл, только если результат соотносится с предварительно установленным уровнем значимости. Простым примером этого может служить случай, когда Вы хотите рассчитать число человек, которые могут сидеть вокруг стола в 345 см в окружности. Если каждому отвести по 75 см, то разделив 345 на 75, получится 4,6 человек!  Очевидно, 0,6 человека не имеют никакого смысла в случае, когда необходимо знать, сколько человек могут сидеть вокруг стола. Если применить правила округления, приведенные в разделе 1.2, ответ получится равным 5. Но это пример «обычной практики», и не дает очень осмысленный ответ. Пятерым сидеть будет тесно; в этом случае 4 будет лучшим ответом.

Всегда следует думать, что означает ответ с практической точки зрения.

Точность числа может следовать из числа десятичных разрядов значащих цифр, данных в числе. Например, если длина футбольного поля определяется в 110 м, это означает, что это поле измерено с точностью до 10 м. Его действительная длина может иметь значение между 105 м и 114 м. Если же длина поля зарегистрирована как 108,54 м, это означает, что она измерена с точностью до одной сотой метра (сантиметра). Это представляет собой очень точное измерение. Число десятичных разрядов, удерживаемое в этом случае, определяется методом измерения. Очевидно, на имеет смысла принимать 108,54 м за длину футбольного поля, если измерение произведено с помощью мерной ленты, на которой метр является наименьшим делением. Больше смысла будет говорить о величине 109 м, т.е. округлить до одного метра.

1.4     Как определить число десятичных знаков

Существует несколько простых правил, применяемых при установлении, сколько десятичных разрядов или значащих цифр должно быть сохранено в числе. Эти правила таковы:

  • Подумайте о смысле полученного ответа.  (Как в примере с числом людей, которых можно усадить вокруг стола).
  • Если число есть результат расчета, то в нем должно быть сохранено столько десятичных разрядов или значащих цифр, сколько их содержится в наименее точном числе, использованном при вычислении. Например,

2,1 x 3,45 x 1.3 = 9,4185 = 9,4 (округленно)

  • Если число является результатом измерения, обратите внимание, как оно получено и какая точность может быть. (Как в примере с футбольным полем.)
  • Рассмотрите, с какой точностью необходимо получить результат. (Например, Ответ может быть округлен до ближайшего десятка.)