13. Доверительные уровни и среднеквадратичная погрешность

13. Доверительные уровни и среднеквадратичная погрешность

Производя измерения с радиоактивными материалами, важно иметь представление о возможных погрешностях в Вашем измерении. Мы делаем это, относя наши измерения к своему доверительному уровню, который основан на различных кратностях стандартных отклонений. Например, если мы определяем, что результат наших измерений должен оказаться в пределах одного стандартного отклонения, то мы имеем степень достоверности того, что наши измерения окажутся в этом диапазоне в 68% случаев.  Поэтому этот диапазон рассматривается как 68% (или 1s) доверительный уровень.  Этот 68% доверительный уровень известен также как стандартная погрешность среднего, поскольку погрешность связана со стандартным отклонением.

Доверительные уровни могут быть заданы на различных уровнях, и в  табл. 5 сведены различные случаи, относящиеся различному числу стандартных отклонений, эквивалентные общепринятым доверительным уровням.

Таблица 4

Доверительные уровни

Доверительные уровни(%) Число стандартных отклонений
50 0.7
68 1.0
90 1.6
95 2.0

Поэтому ответы, полученные в примерах 1и 2, могут быть отнесены к 566 ± 24 отсчетов (к 68% или 1s доверительному уровню), либо 566 ± 48 (к 95% или 2s доверительному уровню). Аналогично, ответы в примерах 3 и 4 могут быть записаны как 7280 ± 20 отсчетов в минуту (на 68% или 1s доверительном уровне), либо 7280 ± 40 отсчетов в минуту (на уровне 95% или 2s доверительном уровне).

Если рассматривается более одного измерения (как в примере 5), значение среднеквадратичной погрешности может быть уменьшено с ростом числа измерений, дающих результат ближе к истинному среднему.  В этом случае среднеквадратичная ошибка (т.е. на доверительном уровне 68% или 1s) определяется, как

E = [7]

где             E  – среднеквадратичная ошибка;

W – стандартное отклонение при сериях измерений;

N – число произведенных измерений,

а в качестве погрешности на доверительном уровне 95% берется удвоенное значение этой величины.

Поэтому, для примера 5, среднеквадратичная погрешность будет равна:

E = = 0.5 отсчетов

Следовательно, измеренное число отсчетов может быть определено как 9.6 ± 0.5 counts (на доверительном уровне 68% или 1s), либо 9.6 ± 1 отсчетов (на доверительном уровне 95%, или 2s).

Отметим, что погрешность данных по числу отсчетов обычно определяется на доверительном уровне 95% (или 2s).  Это означает, что только для 5% данных измерений следует ожидать выхода за этот диапазон, и это, таким образом, рассматривается, как приемлемая точность.

2.5     Планки погрешностей на графиках

На графиках следует изображать планки погрешностей, чтобы обозначить точность определения положения точек, соответствующих данным измерений. Положение планки погрешностей зависит от величины стандартного отклонения. Погрешность может быть задана как плюс или минус одно стандартное отклонение (среднеквадратичная ошибка), либо отнесена к некоторому доверительному уровню, обычно уровню 95% для данных по числу отсчетов.

Рис. 18

Построение планок погрешностей

Обычно предполагают, что погрешность измерения времени является пренебрежимо малой величиной в данных по измерению числа отсчетов.  На рис. 19 показано, как планки погрешностей для 100 отсчетов могут появиться на графике.

Напомним, что стандартное отклонение одного измерения 100 отсчетов было найдено как квадратный корень от этого числа (ssc= √100 = 10).  Теперь обратимся к табл. 5, чтобы найти сколько стандартных отклонений эквивалентно доверительному уровню 95%.

Погрешность на доверительном уровне 95% равна двум стандартным отклонениям, i.e. ± 20.  Прямая A показывает планку погрешностей , изображенную для доверительного уровня 95%.  Среднеквадратичная ошибка равна плюс, или минус одному стандартному отклонению (± 10 в данном примере).  Прямая B изображает планку погрешностей, построенную для среднеквадратичной ошибки.

Основные понятия

Округление

  • При округлении целых чисел или десятичных знаков, равных 5,6,7,8,9, число, стоящее в последующем разряде (десятки, единицы, десятые доли и т.п.) увеличивается на 1.  Например, 0,5 становится равным 1; 107 становится равным 110.
  • Округляя целые числа, либо десятичные знаки, равные 1,2,3,4, число, стоящее в последующем разряде (десятки, единицы, десятые доли и т.п.) остается неизменным. Например, 0,4 становится равным 0; 103 становится равным 100.

Алгебра

  • Алгебра есть способ расчета неизвестных значений путем построения уравнений, в которых мы подставляем буквы для ‘неизвестных’ в сочетании с известными величинами, например, Y = = b + 2.
  • Решая уравнение, помните, что обе части уравнения должны сохранять баланс.
  • Преобразовывая уравнение, помните, что все, что Вы проделываете с одной частью, Вы должны проделать и с другой его частью.

Степени

  • cb есть то де самое, что записать основание c, возведенное в степень b, либо умноженное на себя b раз.
  • b2 есть то же самое, что и b x b.  В этом случае мы говорим, что b возведено в квадрат.
  • b3 есть то же самое, что и b x b x b.  В этом случае мы говорим, что b возведено в куб.
  • b-2 есть то же самое, что записать 1

b2

  • b-3 есть то же самое, что записать 1

b3

  • b1/2 есть квадратный корень, также записываемый как√b.
  • b1/3 есть кубический корень, также записываемый как 3√b.

Логарифмы

  • Логарифмы используются для преобразования чисел в степени некоторого основания.
  • Умножение и деление одинаковых чисел, возведенных в степень, производится путем сложения, либо вычитания степеней.  Поскольку логарифмы преобразуют числа в степени, то логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, а логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя.
  • Существуют 5 правил действий с логарифмами, которые надо запомнить.
  • Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами, а логарифмы по основанию e называются натуральными логарифмами.
  • Часто бывает необходимо преобразовать логарифмические величины обратно в числа. Эта операция известна под названием «взятие антилогарифма от значения логарифма».
  • Экспоненциальная функция (ex) может быть найдена точно также, как находят антилогарифм натурального логарифма.
  • Чтобы преобразовать ex в обычное число Вы должны вычислить натуральный логарифм ее.

Графики

  • Графики есть способ представления информации в виде картинок. Во многих случаях это облегчает понимание информации. Графики также полезны для демонстрации какой-то величины, если другая величина изменяется.
  • График строится с вертикальной линией (осью y) и горизонтальной линией (осью x).  Эти оси представляют два типа величин, зависимость между которыми мы желаем нанести на график.
  • Графики с логарифмической шкалой не имеют значения 0.  Поэтому Вам следует помнить, что когда Вы ведете считывание данных графика с логарифмической шкалой, циклы шкал начинаются с 1,0 и идут до 10 в степени, которую Вы используете.

Вероятность

  • Если совершено только одно измерение числа отсчетов, стандартное отклонение вычисляется как квадратный корень из числа отсчетов:

s sc =

  • Если проведено только одно измерение скорости счета, ее стандартное отклонение вычисляется как:

sscr =

  • Стандартное отклонение одиночных измерений числа отсчетов, либо скорости счета могут быть исправлены с учетом фона. Однако, если число отсчетов, полученное при измерении радиоактивного источника намного больше, чем число отсчетов, полученное при измерении фона, вклад фона в стандартное отклонение может быть проигнорирован.
  • Если произведены серии одиночных измерений, стандартное отклонение вычисляется по следующей формуле:
  • Среднеквадратичная погрешность для одиночного измерения числа отсчетов или скорости счета может быть взята как ± 1s.
  • Среднеквадратичная погрешность для серий одиночных измерений числа отсчетов, либо скорости счета может быть вычислена как ± .  Погрешность на доверительном уровне 95% берется как удвоенное значение этой величины.
  • Погрешность данных по измерению числа отсчетов обычно берется в соответствии с доверительным уровнем 95%.

Заключительное задание

Это задание должно быть завершено перед тестовым заданием, поэтому потратьте некоторое время, чтобы изучить этот модуль. Затем свяжитесь с вашим руководителем, чтобы договориться о подходящем времени, чтобы завершить это задание..


ПРИЛОЖЕНИЕ A

ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ

Как найти десятичный логарифм числа, используя таблицы логарифмов

Число, являющееся значением десятичного логарифма, состоит из двух частей: цифры, стоящие перед запятой, называются характеристикой, цифры, стоящие после запятой называются мантиссой. Пример 1 показывает как найти десятичный логарифм числа, используя таблицы логарифмов. Проработайте пример и попытайтесь выполнить задания сами.

Пример 1

Вопрос

Найдите десятичный логарифм числа 123,4 (log 123,4), используя таблицы десятичного логарифма, приведенные на странице 89.

Решение

Этап 1 Запишите число в научном обозначении.123,4 = 1,234 x 102
Этап 2 Степень десяти становится характеристикой, и в данном случае характеристика равна 2.
Этап 3 Найдите в таблице логарифмов число 1,234, а затем и мантиссу, следующим образом:В таблице логарифмов в левой колонке приведены целое число и первая цифра после запятой (0,0).  Цифры в верхней строке задают вторую цифру после запятой (0,00).

Найдите в левой колонке 1,2; затем двигайтесь вдоль строки чисел до колонки под цифрой 3. Найденное число будет мантиссой 1,23 равной 0,0899.

Таким же образом найдите мантиссу числа 1,24. Она равна 0,0934.

Нам нужно найти значение логарифма 1,234, которое где-то по середине между значениями логарифма 1,23 и логарифма 1,24. Поэтому мы может оценить, что мантисса 1,234 равна примерно 0,0915.

Этап 4 Чтобы найти log 123.4, сложите характеристику и мантиссу.Таким образом log 123.4 равен 2.0915.
Замечание Мантисса, приведенная в таблицах, всегда положительна и не зависит от положения запятой в исходном числе. Это означает, что числа 0,01234, 0,1234, 1,234, 12,34 и т.д. будут иметь одинаковые мантиссы. Однако, характеристика для числа, меньшего единицы, будет отрицательная. Поэтому, логарифм числа, меньшего единицы, будет состоять из отрицательной характеристики и положительной мантиссы, например, логарифм 0,1234 имеет характеристику  -1 и мантиссу  0,0915.  Логарифм записывается с чертой над характеристикой, например, .0915. Эта информация приведена для того, чтобы Вы могли понять, почему значения логарифмов записаны с чертой над характеристикой. Это на влияет на способ использования логарифма.Логарифмы следующих чисел имеют одинаковую мантиссу.

log 123,4 = 2.0915

log 12,34 = 1.0915

log 1,234 = 0,0915

log 0,1234 = ,0915 = -0,9085

log 0,01234 = ,0915 = -1,9085

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 10

1.         Найдите десятичный логарифм следующих чисел, используя таблицы в приложении А:

a)           4 567

b)           0,4567

2.      Найдите десятичный логарифм следующих чисел, используя таблицы в приложении А:

a)           1,09

b)           125

c)           0,00897

Теперь сверьте Ваши ответы с  ответами в рабочей тетради

Нахождение числа, соответствующего значению логарифма по таблицам логарифмов

Число, соответствующее данному значению логарифма называется антилогарифмом и сокращенно обозначается как log-1.  Простыми словами, чтобы найти число, соответствующее данному значению логарифма, мы должны использовать таблицы логарифмов в обратном порядке.

Пример 2 показывает, как найти антилогарифм числа, используя таблицы логарифмов на странице 89.

Пример 2

Вопрос

Найдите десятичный антилогарифм значения логарифма равного 2,0915 (log-1 2,0915).

Решение

Этап 1 Разделите характеристику и мантиссу.Характеристика равна 2, а мантисса 0,0915.
Этап 2 Характеристика становится степенью десяти.Степень 10 равна 2 (102).
Этап 3 Найдите в таблице логарифмов число соответствующее мантиссе, следующим образом:Помните, что в этот раз мы используем таблицу в обратном порядке. Мы должны сначала брать искать число в таблице, (а не в боковой колонке) для нахождения мантиссы.

В таблице ближайшие числа к заданной мантиссе равны 0,0899 и 0,0934.

Теперь взгляните на соответствующие числа в левой колонке и наверху исходной колонки. Они дают число, где-то между 1,23 и 1,24. Мы можем оценить число равным 1,235.

Этап 4 Для определения исходного числа, соответствующего
log-1 2,0915, умножьте соответствующее число (1,235) на соответствующую степень десяти (102).Таким образом, антилогарифм 2,0915 равен 1,235 x 102

или log-1 2,0915 = 1,235 x 102

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 11

1.      Найдите десятичный антилогарифм (log-1) следующих значений с помощью таблиц логарифмов на странице 79:

a)           3,657

b)           ,657

2.      1.           Найдите десятичный антилогарифм (log-1) следующих значений с помощью таблиц логарифмов на странице 79:

a)           3,5482

b)           1,4114

c)           ,6537

d)           ,1178

Теперь сверьте Ваши ответы с ответами в рабочей тетради

Вычисления с использованием логарифмов

Как было отмечено ранее, логарифмы можно использовать для упрощения вычислений. Пример 3 показывает как можно выполнить умножение , используя логарифмы.

Пример 3

Вопрос

Вычислите, используя таблицы логарифмов

1350 x 350 = ?

Решение

Для вычисления этого выражения нам нужно использовать свойства логарифма. Мы должны разделить вычисление на три стадии. Это вычисление задействует все, что мы узнали о логарифмах до недавнего времени. Поэтому важно, чтобы Вы усвоили предыдущий материал, перед проработкой этого примера.

Стадия 1 Сперва нам надо применить свойства логарифма, для преобразования вычисления к логарифмам.

Этап 1 Применение свойств логарифма дает следующее:log (1350 x 350) = log 1350 + log 350
Этап 2 В таблице логарифмов приведены числа от 1,0 до 9,99.  Поэтому запишите числа в научном обозначении:1350 = 1,350 x 103

350 = 3,50 x 102

Этап 3 Найдите 1,350 в таблице:В таблице логарифмов в левой колонке приведены целое число и первая цифра после запятой (0,0).  Цифры в верхней строке задают вторую цифру после запятой (0,00).

Найдите в левой колонке 1,3; затем двигайтесь вдоль строки чисел до колонки под цифрой 5. Найденное число будет мантиссой логарифма 1,35 равной 0,1303.

Этап 4 Сложите характеристику и мантиссу. Помните, что характеристика есть степень десяти, которая в нашем случае равна 3.log 1350 = 3,1303
Этап 5 Аналогичноlog 350 = 2,5441

Стадия 2 Применяя свойства логарифма, мы можем выполнить вычисление гораздо проще – складывая, а не умножая.

Этап 1 Применение свойств логарифма дает следующее:log (1350 x 350) = log 1350 + log 350
Этап 2 Теперь мы можем сложить вычисленные значения логарифма:log (1350 x 350) = 3,1303 + 2,5411 = 5,6744

Stage 3 Теперь мы имеем логарифмическое значение искомого числа.  Для нахождения обычного числа, надо его конвертировать обратно. Для этого надо найти антилогарифм (log-1) числа 5,6744.

Этап 1 Разделите характеристику и мантиссу.Характеристика равна 5, а мантисса 0,6744
Этап 2 Характеристика становится степенью десяти.Степень 10 равна 5 (105).
Этап 3 Найдите в таблице логарифмов число, соответствующее мантиссе:Помните, что в этот раз мы используем таблицу в обратном порядке. Мы должны сначала брать искать число в таблице, (а не в боковой колонке) для нахождения мантиссы.

В таблице ближайшие числа к заданной мантиссе равны 0,6739 и 0,6749

Теперь взгляните на соответствующие числа в левой колонке и наверху исходной колонки. Они дают число, где-то между 4,72 и 4,73. Мы можем оценить, что число соответствует 4,725.

Этап 4 Для определения исходного числа, соответствующего
log-1 5,6744, умножьте соответствующее число (4,725) на соответствующую степень десяти (105).Значит log-1 5,6744 = 4,725 x 105
Этап 5 В результате решение выглядит следующим образом:1350 x 350 = 4,725 x 105

Логарифм можно использовать, для проведения операции деления. Это демонстрирует ниже пример 4.

Пример 4

Вопрос

Вычислите, используя таблицы логарифмов

0,175 ÷ 345 = ?

Решение

Как и в прошлом примере, мы будем исходить из трех стадий.

Стадия 1 Сперва нам надо применить свойства логарифма, для преобразования вычисления к логарифмам.

Этап 1 Применение свойств логарифма дает следующее:log (0,175 ¸ 345) = log 0,175 – log 345
Этап 2 В таблице логарифмов приведены числа от 1,0 до 9,99,  Поэтому запишите числа в научном обозначении:0,175 = 1,75 x 10-1

345 = 3,45 x 102

Этап 3 Найдите 1,75 в таблице:В таблице логарифмов в левой колонке приведены целое число и первая цифра после запятой (0,0).  Цифры в верхней строке задают вторую цифру после запятой (0,00).

Найдите в левой колонке 1,7; затем двигайтесь вдоль строки чисел до колонки под цифрой 5. Найденное число будет мантиссой логарифма 1,75 равной 0,2430.

Этап 4 Сложите характеристику и мантиссу. Помните, что характеристика есть степень десяти, которая в нашем случае равна -1.log 0,175 = ,2430
Этап 5 Аналогично:log 345 = 2,5378

Стадия 2 Применяя свойства логарифма, мы можем выполнить вычисление гораздо проще – вычитая, а не производя деление.

Этап 1 Применение свойств логарифма дает следующее:log (0,175 ¸ 345) = log 0,175 – log 345
Этап 2 Теперь мы можем вычесть вычисленные значения логарифма:log 0,175 – log 345 = ,2430 – 2,5378

= ,7052

Стадия  3 Теперь мы имеем логарифмическое значение искомого числа.  Для нахождения обычного числа, надо его конвертировать обратно. Для этого надо найти антилогарифм (log-1) числа ,7052.

Этап 1 Разделите характеристику и мантиссу.Характеристика равна , а мантисса 0,7052.
Этап 2 Характеристика становится степенью десяти.Степень 10 равна -4 (10-4).
Этап 3 Найдите в таблице логарифмов число, соответствующее мантиссе:Помните, что в этот раз мы используем таблицу в обратном порядке. Мы должны сначала брать искать число в таблице, (а не в боковой колонке) для нахождения мантиссы.

В таблице ближайшие числа к заданной мантиссе равны 0,7050 и 0,7059.

Теперь взгляните на соответствующие числа в левой колонке и наверху исходной колонки. Они дают число, где-то между 5,07 и 5,08. Мы можем оценить, что число соответствует 5,072.

Этап 4 Для определения исходного числа, соответствующего
log-1 ,7052, умножьте соответствующее число (,7052) на соответствующую степень десяти (10-4).Значит log-1 ,7052 = 5,072 x 10-4
Этап 5 В результате решение выглядит следующим образом:0,175 ÷ 345 = 5,072 x 10-4

Вопросы для самопроверки 12

Теперь посмотрите, как много Вы усвоили из прочитанного, ответив на следующие вопросы в Вашей рабочей тетради:

1.      Вычислите с помощью таблиц логарифмов на странице 79:

a)           679 x 345 = ?

b)           9 876 x 1 234 = ?

2.      Вычислите

a)           0,0257 ÷ 2,56 = ?

b)           0,0012 ÷ 4,79 = ?

Теперь сверьте Ваши ответы с ответами в рабочей тетради.


Таблица десятичных логарифмов

ПРИЛОЖЕНИЕ B

НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ

Использование таблицы натуральных логарифмов

Таблицы натуральных логарифмов могут использоваться для следующих целей:

  • Для нахождения натурального логарифма числа.
  • Для определения значения ex.

Использование таблицы натуральных логарифмов для чисел меньших 10

Натуральный логарифм от чисел от 1,0 до 9,99 может быть получен из таблиц натуральных логарифмов (см. Таблицу 6).

Пример 1

Вопрос

Найти натуральный логарифм (ln) от 3,85, используя  таблицы натуральных логарифмов.

Решение

Натуральный логарифм от 3,85 может быть найден непосредственно в таблице:

ln 3,85 = 1,3481

Использование таблицы натуральных логарифмов для чисел больших 10

Для чисел больших 9,99 необходимо знать значение натурального логарифма от 10, 100, 1 000 и т.д. Они приведены на стр. 98 для степеней десяти вплоть до 109.

Пример 2

Вопрос

Найдите натуральный логарифм от 38,5 используя таблицы натуральных логарифмов,

Решение

Записав 38,5 в научном обозначении и используя свойства логарифма, можно получить следующее:

38,5 = 3,85 x 10

ln 38,5 = ln (3,85 x 10) = ln 3,85 + ln 10

ln 38,5 = 1,3481 + 2,3026 = 3,6507

ln 38,5 = 3,6507

Расчет ex для различных значений x

При определении значения ex , важно принимать во внимание, положительно ли значение x или нет. Это потому, что для вычисления экспоненты для положительных и отрицательных значений аргумента используются различные методы. В следующих параграфах приведены методы вычисления ex для различных значений x.

Вычисление ex для положительных значений x

Чтобы вычислить ex для положительных значений x, необходимо использовать таблицы натуральных логарифмов в обратном направлении. Это делается точно также как при нахождении десятичного антилогарифма.

Пример 3

Question

Вычислите e0,7031, используя таблицы натуральных логарифмов.

Решение

Для вычисления e 0,7031 надо найти 0,7031 в таблице (не в крайних колонках). Вы нейдете его в ряде для 2,0 в колонке под цифрой 22. Значит,

e0,7031 = 2,02

Отметьте, что если числа нет в таблице, найдите ближайшие и проведите аппроксимацию, так как это проводили с десятичными логарифмами.

Таблицы натуральных логарифмов дают непосредственное значение ex для значений x, лежащих между 0,0000 и 2,3026. Для больших значений x необходимо выделить натуральный логарифм от соответствующей степени десяти, чтобы привести число в интервал от 0,0000 до 2,3026.

Пример 4

Вопрос

Вычислите e8,2341 используя таблицы натуральных логарифмов.

Решение

Значение  e8,2341 вне значений в таблице. Его можно найти следующим образом:

Этап 1 Максимальное значение в таблице равно 2,3026. Число 8,2341 отличается от этого предела на 5,9315 (8,2341 – 2,3026).
Этап 2 Чтобы привести 8,2341 к интервалу значений таблицы, число большее 5,9315 (но меньшее 8,2341, чтобы результат не стал отрицательным) должно быть вычтено.  Взгляните на натуральный логарифм от степени десяти и найдите необходимое значение. В нашем случае оно равно 6,9078, которое соответствует ln 103.8,2341 – 6,9078 = 1,3263

8,2341 = 6,9078 + 1,3263

8,2341 = ln 103 + ln 3,768

Этап 3 Использование свойств логарифмов дает8,2341 = ln (3,768 x 103)
Этап 4 Это записано в виде ln y = x, где y = ex.  Значитe8,2341 = 3,768 x 103

Отрицательные значения показателя функции ex

Существует много случаев, когда Ваши решения задач по радиационной защите будут записаны в форме e-x.  Чтобы рассчитать ex отрицательных значений x, используйте метод, аналогичный тому, который был использован для расчета больших чисел.

Так как ln 10-1 = – ln 10 (применяя правила работы с логарифмами), натуральный логарифм отрицательной степени десяти равен натуральному логарифму десяти со знаком минус.  Это продемонстрировано в примере 5:


Пример 5

Вопрос

Найдите значение e-0,6, используя таблицы натуральных логарифмов, приведенные в приложении B.

Решение

Этап 1 Найдите число, соответствующее логарифму некоторой степени 10, которое при сложении с -0,6 даст положительное число, лежащее между  0 and 2,3026.-0,6 + 2,3026 = 1,7026

-0,6 = 1,7026 – 2,3026

Этап 2 Найдите 1,7026 в таблицах натуральных логарифмов.  Это соответствует примерно 5,489. Из этих же таблиц видно, что 2,3026 соответствует 10 (or 101).
Этап 3 Из вышеизложенного следует:-0,6 = ln 5,489 – ln 101
Этап 4 Используя действия с логарифмамиnlogb m = logb (mn)

ln 101 = ln 10-1.

получим:

-0,6 = ln 5,489 + ln 10-1

Этап 5 Снова, используя правило logb (mn) = logb m + logb n-0,6 = ln (5,489 x 10-1)
Этап 6 Из раздела 6.3 видно, что ln a = x есть то же самое, что и    a = ex.  Следовательно:e-0,6 = 5,489 x 10-1

Вопросы для самопроверки 13

Теперь посмотрите, сколько Вы усвоили из прочитанного, ответив на следующие вопросы в Вашей рабочей тетради:

1.      Найдите значения натуральных логарифмов (ln) для следующих чисел, используя таблицы натуральных логарифмов

a)                     4,65

b)                     46,5

c)                      465

2.             Найдите значение e 10,3562 , используя таблицы натуральных логарифмов.

3.             Найдите натуральный логарифм 56 (ln 56) используя таблицы натуральных логарифмов.

4.      Найдите значение e1,335 используя таблицы натуральных логарифмов.

5.         Найдите значение e-5,5 используя таблицы натуральных логарифмов.

Теперь сверьте Ваши ответы с ответами в рабочей тетради.


Таблицы натуральных логарифмов

Натуральный логарифм числа есть степень, в которую надо возвести основание e (2.7182818), чтобы получить данное число.

Example:       loge 4,12 = ln 4,12 = 1,4159

Таблица дает значения натуральных логарифмов для чисел от 1.00 до 9.99, и позволяет нахождение логарифмов чисел, выходящих за данный диапазон, путем добавления или вычитания натуральных логарифмов степеней 10.

Пример:         ln 679 = ln 6,79 + ln 102 = 1,9155 + 4,6052 = 6,5207

ln 0,0679 = ln 6,79 – ln 102 = 1,9155 – 4.6052 = -2,6897

Натуральные логарифмы 10k

ln 10 = 2,302585                  ln 104 = 9,210340                 ln 107 = 16,118096

ln 102 = 4,605170                 ln 105 = 11,512925              ln 108 = 18,420681

ln 103 = 6,907755                 ln 106 = 13,815511              ln 109 = 20,723266

Чтобы получить десятичный логарифм, натуральный логарифм умножается на log10e, что равно 0,434294 или log10 N = 0,434294 ln N.

Таблица 5 Таблицы натуральных логарифмов

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7,2 1,9741 1,9755 1,9769 1,9782 1,9796 1,9810 1,9824 1,9838 1,9851 1,9865
7,3 1,9879 1,9892 1,9906 1,9920 1,9933 1,9947 1,9961 1,9974 1,9988 2,0001
7,4 2,0015 2,0028 2,0042 2,0055 2,0069 2,0082 2,0096 2,0109 2,0122 2,0136
7,5 2,0149 2,0162 2,0176 2,0189 2,0202 2,0215 2,0229 2,0242 2,0255 2,0268
7,6 2,0281 2,0295 2,0308 2,0321 2,0334 2,0347 2,0360 2,0373 2,0386 2,0399
7,7 2,0412 2,0425 2,0438 2,0451 2,0464 2,0477 2,0490 2,0503 2,0516 2,0528
7,8 2,0541 2,0554 2,0567 2,0580 2,0592 2,0605 2,0618 2,0631 2,0643 2,0656
7,9 2,0669 2,0681 2,0694 2,0707 2,0719 2,0732 2,0744 2,0757 2,0769 2,0782
8,0 2,0794 2,0807 2,0819 2,0832 2,0844 2,0857 2,0869 2,0882 2,0894 2,0906
8,1 2,0919 2,0931 2,0943 2,0956 2,0968 2,0980 2,0992 2,1005 2,1017 2,1029
8,2 2,1041 2,1054 2,1066 2,1078 2,1090 2,1102 2,1114 2,1126 2,1138 2,1150
8,3 2,1163 2,1175 2,1187 2,1199 2,1211 2,1223 2,1235 2,1247 2,1258 2,1270
8,4 2,1282 2,1294 2,1306 2,1318 2,1330 2,1342 2,1353 2,1365 2,1377 2,1389
8,5 2,1401 2,1412 2,1424 2,1436 2,1448 2,1459 2,1471 2,1483 2,1494 2,1506
8,6 2,1518 2,1529 2,1541 2,1552 2,1564 2,1576 2,1587 2,1599 2,1610 2,1622
8,7 2,1633 2,1645 2,1656 2,1668 2,1679 2,1691 2,1702 2,1713 2,1725 2,1736
8,8 2,1748 2,1759 2,1770 2,1782 2,1793 2,1804 2,1815 2,1827 2,1838 2,1849
8,9 2,1861 2,1872 2,1883 2,1894 2,1905 2,1917 2,1928 2,1939 2,1950 2,1961
9,0 2,1972 2,1983 2,1994 2,2006 2,2017 2,2028 2,2039 2,2050 2,2061 2,2072
9,1 2,2083 2,2094 2,2105 2,2116 2,2127 2,2138 2,2148 2,2159 2,2170 2,2181
9,2 2,2192 2,2203 2,2214 2,2225 2,2235 2,2246 2,2257 2,2268 2,2279 2,2289
9,3 2,2300 2,2311 2,2322 2,2332 2,2343 2,2354 2,2364 2,2375 2,2386 2,2396
9,4 2,2407 2,2418 2,2428 2,2439 2,2450 2,2460 2,2471 2,2481 2,2492 2,2502
9,5 2,2513 2,2523 2,2534 2,2544 2,2555 2,2565 2,2576 2,2586 2,2597 2,2607
9,6 2,2618 2,2628 2,2638 2,2649 2,2659 2,2670 2,2680 2,2690 2,2701 2,2711
9,7 2,2721 2,2732 2,2742 2,2752 2,2762 2,2773 2,2783 2,2793 2,2803 2,2814
9,8 2,2824 2,2834 2,2844 2,2854 2,2865 2,2875 2,2885 2,2895 2,2905 2,2915
9,9 2,2925 2,2935 2,2946 2,2956 2,2966 2,2976 2,2986 2,2996 2,3006 2,3016


Глоссарий

e Число, приближенно равное to 2,718.
Антилогарифм Число, соответствующее данному значению логарифма. Часто записывается как log-1.
В квадрате Число, умноженное само на себя.
В кубе Число, умноженное на себя 3 раза.
Вероятность Число, лежащее между 0 и 1, которое дает количественное описание шанса, с которым событие может произойти.
График Способ использования диаграмм для иллюстрации математических соотношений.
Десятичная система Система счисления, основанная на числе 10.
Десятичный логарифм Логарифм по основанию 10. Часто записывается как log.
Доверительный уровень Степень определенности, что некоторое событие состоится.  Обычно выражается в процентах.
Знаменатель Число, стоящее под знаком простой дроби.
Значащие цифры Количество важных цифр, которые следует указать в числе.
Интегрирование Математическая операция, используемая для нахождения площади под прямой или кривой на графике.
Интерполяция Информация, полученная из точек на графике между двумя точками, соответствующими результатам измерений.
Линейный масштаб Масштаб на графике, который разбит на равные деления, соответствующие одинаковым диапазонам изменения данных.
Линия наилучшего приближения Прямая или кривая на графике, подогнанная к экспериментальным точкам (включая планки погрешностей) наилучшим образом.
Логарифм Степень, в которую надо возвести основание, чтобы дать число, стоящее под знаком логарифма
Логарифмический масштаб Масштаб графика, который разделен на равные отрезки, соответствующие 100, 101, 102 и т.д.  Каждое деление покрывает различный диапазон чисел.
Мантисса часть значения логарифма, стоящая после десятичного знака.
Натуральный логарифм Логарифм по основанию e. Он часто обозначается как ln.
Обратная величина Обратная величина числа x есть 1, деленная на x, обозначается 1/x or x-1.
Округление Способ ограничения числа значащих цифр, включенных в регистрируемое число.
Основание Число, возводимое в некоторую степень
Ось (мн.ч. оси) График имеет две оси, ось x и ось y. На этих осях откладывается масштаб измеренных данных.
Планка погрешностей Линии, построенные на графике, чтобы показать возможные погрешности измерения данных
Показатель степени Показатель степени числа есть число раз, которое надо его умножить на себя (см. степень)
Среднее Среднее значение группы чисел. Иногда его называют арифметическим средним.
Стандартное отклонение Мера ожидаемого отклонения для некоторого измерения.
Степень Степень числа есть число раз, которое это число умножается на само себя (см. показатель степени)
Уравнение Математическое предложение, связывающее две и более величины.
Характеристика Часть значения логарифма, чтоящая перед запятой.
Цикл Большой отрезок логарифмической шкалы графика покрывающий одну степень 10.
Цифра Отдельное число (например, число 1234 содержит 4 цифры).
Частота Число раз появления какого-то события в единицу времени.
Числитель Число, стоящее над чертой простой дроби.
Экспоненциальная запись Способ записи чисел, особенно очень больших и очень маленьких чисел, используя степени с основанием 10.
Экспоненциальная функция Экспоненциальная функция ex есть удобная математическая функция для описания радиоактивного распада.
Экстраполяция Способ получения информации для точек на графике, находящихся за пределами точек, соответствующих данным измерений.