12. Понятие о вероятности и статистике отсчетов

12. Понятие о вероятности и статистике отсчетов

Математическая теория вероятностей и статистики является весьма сложной наукой.  В данном разделе Вы познакомитесь с несколькими более простыми понятиями, которые позволят Вам вычислять ошибки, связанные с регистрацией излучений радиоактивных источников.

2.1     Вероятность

Вероятность описывается как мера того, что некоторое событие может произойти.  Это может быть частота, с которой та или иная сторона монеты ляжет одной из сторон вверх, если подбросить ее в воздухе и затем словить. Так как у монеты две стороны, то появится только одна из них (предполагается, что не рассматривается равновесие на ее ребре), то вероятность того, что откроется одна сторона монеты, равна числу действий (например, числу подбрасываний монеты), деленному на число возможных исходов (например, одна сторона, или другая). В этом простом случае вероятность составит ½, или 0,5, или 50%Вероятность 1,0, или 100% имеет место для события, которое обязательно происходит.  Вероятность, равная нулю, означает, что событие с определенностью не происходит.

Существует много областей математики, которые имеют дело с вероятностями. Однако, только области, имеющие отношение к радиационной защите, являются теми областями, которые связаны с определением отсчетов при регистрации излучения от радиоактивных источников. Эта тема будет рассмотрена в следующем разделе, и большинство примеров будут связаны с видом регистрации.

Распад радиоактивного материала подробно описан в модуле 1.3 «Ионизирующее излучение и радиоактивный распад». Он будет использован в данном модуле, чтобы помочь объяснить математические понятия вероятности и статистики отсчетов. На этой стадии Вам нет необходимости знать, как материалы распадаются.

2.2     Статистика отсчетов

Рассмотрим, что произойдет, если Вас попросят собрать данные по подбрасыванию монеты, описанные в разделе 9.1.  Теоретически для каждых 100 подбрасываний монеты она должна приземлиться на одну из сторон 50 раз.  Однако, Вы знаете, что это не обязательно случится. Если Вы подбрасываете монету в 10 сериях по 100 подбрасываний, Вы можете получить числа 47, 56, 49, 54, 53, 54, 48, 47, 51 и 46.  Чем больше серий по 100 подбрасываний Вы сделаете, тем больше число выпадений одной из сторон монеты приблизится к среднему значению 50, числу, которое предсказывается теорией. Эти вариации результатов возникают не в связи с какой-то проблемой с подбрасыванием монеты, являются результатом статистической природы подбрасывания.

Аналогично, если бы Вам пришлось замерять отсчеты прибора, регистрирующего ионизирующее излучение от источника, несколько раз, Вы бы получили некоторый набор различных результатов. Вариации в отсчетах возникают из-за статистической природы поведения ионизирующего излучения, а не из-за некорректной работы счетчика. В таблице 4 приведен набор данных по отсчетам для радиоактивного образца, который измерялся 240 раз.  Первая строка содержит число отсчетов за определенный промежуток времени. Вторая строка содержит число, показывающее, сколько раз был получен каждый результат, то есть частоту появления данного числа отсчетов.


Таблица 3

Данные по регистрации отсчетов от образца

Число отсчетов 52 60 73 78 82 92 98 108 121 147
Частота появления числа отсчетов 3 10 21 30 39 41 38 28 20 10

Если по эти данным построить график, результат будет выглядеть так, как это показано ниже на рис. 16.

Эта кривая называется кривой распределения Гаусса или нормальным распределением. (Вы могли также слышать термины «биномиальное распределение» или «Распределение Пуассона». Для измерений радиоактивности эти формы распределения могут рассматриваться как совпадающие, если число отсчетов примерно больше 30). Форма кривой демонстрирует статистическую природу радиоактивного распада. Наивысшая точка кривой дает значение наиболее вероятного числа отсчетов, в рассматриваемом случае это равно 92.  Ширина кривой дает диапазон значений, в котором может изменяться  измеряемое число отсчетов и является мерой ошибки в определении числа отсчетов. Вы можете получить среднее значение числа отсчетов путем суммирования всех отсчетов с последующим делением на число случаев, в которых произошли отсчеты, как показано в уравнении 1:

= [1]

где  - среднее число отсчетов в образце.

ån – сумма числа отсчетов, (отметим, что å есть знак суммы)

N – число случаев, в которых произошли отсчеты.

Поэтому для данных, приведенных выше,

ån = (52 x 3) + (60 x 10) + (73 x 21) + (78 x 30)+ (82 x 39) + (92 x 41) + (98 x 38) + (108 x 28) + (121 x 20) + (147 x 10) = 22 237

N = 240

Следовательно,

=  = 92,65

Так как дробное число отсчетов не существует, среднее число отсчетов, полученных при обмере образца, равно 93.

В истинно нормальном распределении среднее значение величины есть то же самое, что и наиболее вероятное ее значение.

2.3     Стандартное отклонение

Стандартное отклонение есть способ оценки неопределенности значения путем введения количественной характеристики ширины кривой распределения, такой, как это было показано на рис. рис. 16.  Чем меньше стандартное отклонение, тем уже будет эта кривая (т.е. данные сгруппированы ближе друг к другу). Если данные покрывают большой диапазон изменения данных, то кривая будет широкой и стандартное отклонение будет большим. Это проиллюстрировано на рис. 17. (стандартное отклонение обозначают буквой s, греческая буква сигма).  Малое стандартное отклонение означает, что, как данные, так и рассчитанное среднее значение этих данных являются более определенными.

Площадь под кривой нормального распределения может быть разделена на сегменты равной ширины по каждую сторону от максимума кривой.  Эти сегменты называются стандартными отклонениями. Они являются мерой отклонения данных от среднего значения. Размеры сегментов выбираются таким образом, что плюс или минус одно стандартное отклонение (записываемое как ± 1s) покрывает 68.26% данных, ± 2s покрывает 95.46% данных и ± 3s покрывает 99.74% данных.  Это показано на рис. 18.

Отметим, что доверительные уровни обычно округляются до ближайшего 1%.  Поэтому ± 1s покрывает 68% данных, а ± 2s покрывает 95% данных.

2.3.1     Определение стандартного отклонения для измерения одного отсчета

Если для радиоактивного образца произведено только одно измерение отсчетов (nsc), то это число отсчетов рассматривается как средний результат (т.е.  = nsc).  Стандартное отклонение числа отсчетов для такого образца берется как корень квадратный из числа отсчетов следующим образом:

s sc = [2]

где s sc - стандартное отклонение одного измерения отсчетов

nsc – число отсчетов

На примере 1 показывается, как стандартное отклонение для единственного измерения отсчетов может быть рассчитано на практике.

Пример 1

Вопрос

Радиоактивный образец был обмерян и было получено 566 отсчетов.  Каково стандартное отклонение числа отсчетов?

Решение

Из уравнения 2:

ssc = =  = 24 (с точностью до двух значащих цифр (2 зц))

Следовательно, стандартное отклонение этих отсчетов составляет 24 отсчета (до 2 зц).

2.3.2     Определение стандартного отклонения для одного измерения числа отсчетов, с учетом фона

При получении отсчетов от радиоактивного образца необходимо принять во внимание отсчеты, вызванные естественным радиационным фоном (это впоследствии будет объяснено в модуле 1.3 «Ионизирующее излучение и радиоактивный распад»). Поэтому, определяя чистое стандартное отклонение, нам рассмотреть стандартное отклонение как для фоновых отсчетов, так и отсчетов, созданных в детекторе излучением образца. Чтобы это сделать, нам нужно найти стандартное отклонение, связанное с каждым из них, а затем нужно определить совместное стандартное отклонение. это определяется следующим образом:

sscnet =

где ssc =  - стандартное отклонение для одного процесса измерения;

sb =  - стандартное отклонение для числа отсчетов, вызванных фоновым излучением

Поэтому

sscnet = [3]

где sscnet есть чистое стандартное отклонение в отсчетах (т.е. число отсчетов, полученных в одном измерении, поправленное с учетом фона)

nsc – число отсчетов от образца

nb – число отсчетов фона

На примере 2 показано, как можно рассчитать чистое стандартное отклонение для одного измерения (с учетом фона).

Пример 2

Вопрос

Радиоактивный образец был обмерян и за время измерения получено 566 отсчетов.  Фоновое число отсчетов было измерено равным 20 отсчетов. Чему равно стандартное отклонение с учетом фона?

Решение

nsc = 566

nb = 20

из уравнения 3:

sscnet = = = 24 отсчета (до 2 зц)

Следовательно, стандартное отклонение измерения (с учетом фона) составляет 24 отсчета (до 2 зц).

Отметим, что стандартное отклонение, взятое из примера 1 равно результату, полученному в примере 2 (с точностью до 2 зц).  Это получилось потому, что фон дает малое число отсчетов по сравнению образцом.  Поэтому для измерений, в которых фон дает число отсчетов, гораздо меньшее, чем образец, его вкладом в стандартное отклонение можно пренебречь, и мы можем рассчитать стандартное отклонение для образца, используя уравнение 2, приведенное выше.

2.3.3     Определение стандартного отклонения для скорости счета при одном измерении

В разделе 9.3.1. показано, как вычислить стандартное отклонение для образца в случае одного измерения, но это неприменимо для определения стандартного отклонения скорости числа отсчетов (т.е. ssc = применимо только к полному числу отсчетов, но не к скорости счета).  Это происходит потому, что рассматривая скорость счета, необходимо принимать во внимание также и время. Поэтому, если проведено одно измерение скорости счета, то ее стандартное отклонение для образца определяется следующим образом:

sscr = [4]

где s scr - стандартное отклонение скорости счета в одном измерении

R – скорость счета

t – время измерения

В примере 3 показано, как стандартное отклонение для одного измерения скорости счета может быть определено на практике.

Пример 3

Вопрос

В течение 5 минут производились измерения числа отсчетов от образца и результат измерения показал 7 280 отсчетов.  Чему равно стандартное отклонение скорости счета?

Решение

R =  = 1 456 отсчетов в минуту (о/мин)

T = 5 мин.

Из уравнения 4:

sscr= =  = 17 о/мин (до 2 зц)

Следовательно, стандартное отклонение скорости счета равно 17 о/мин (до 2 зц).

2.3.4     Определение стандартного отклонения для одного измерения скорости счета излучения образца, скорректированное с учетом фона

Снова при определении скорости счета от радиоактивного источника нам следует принять во внимание скорость счета, возникающая естественным радиационным фоном. Следовательно, определяя чистое стандартное отклонение, нам нужно рассмотреть стандартное отклонение, как для скорости счета фона, так и скорости счета в присутствии образца. Чтобы сделать это, нам, в первую очередь, нужно определить стандартное отклонение, связанное с каждым из них, а затем определить общее стандартное отклонение. Это определяется следующим образом:

sscrnet = [5]

где        sscr =  - стандартное отклонение для одного измерения;

sb =  - стандартное отклонение измерения скорости счета фона;

sscrnet - стандартное отклонение одного измерения скорости счета с учетом фона

В примере 4 показано, как чистое стандартное отклонение для одного измерения (с учетом фона) может быть практически рассчитано.

Пример 4

Вопрос

Образец подвергся измерению числа отсчетов в течение 5 минут и дал 7 280 отсчетов.  Измерение скорости счета, вызванной фоновым излучением, составила 32 о/мин за 30 мин.  Чему равно чистое стандартное отклонение для этого образца?

Решение

Rscr = 7 280 = 1456 о/мин

5

Rb = 32 о/мин

sscr =  =  = 17 о/мин (до 2 зц)

sb =  =  = 1 о/мин (до 1 зц)

Из уравнения 5:

sscrnet === 20 о/мин (до 1 зц)

Следовательно, стандартное отклонение (с учетом фона) равно 20 о/мин (до 1 зц).

Снова, сравнивая примеры 3 и 4, можно увидеть, что вклад фоновой составляющей в чистое стандартное отклонение очень мал по сравнению со стандартным отклонением для скорости счета, измеренной для образца. Следовательно, для большинства измерений скорости счета (за исключением случаев очень низких скоростей счета)  стандартным отклонением для фона можно пренебречь и мы можем рассчитать стандартное отклонение для образца, используя уравнение 4, приведенное выше.

Тем не менее, следует обратить внимание на то, что, хотя количественный вклад стандартное отклонение, связанное с фоном, при требуемой точности не дало, но факт его наличия и, самое главное, точность его определения существенно повлияли на итоговый результат в соответствии с правилами округления.

2.3.5     Определение стандартного отклонения для серии отдельных измерений отсчетов

Данные были бы намного лучше, если бы была возможность провести серии измерений. Например, результат будет более точным, если получить 5 показаний числа отсчетов и усреднить их, чем взять только одно показание (отметим, что все измерения должны быть проведены при одинаковых условиях). В этом случае среднее берется как сумма пяти показаний счетчика, деленная на число отсчетов (см. уравнение 1), и, следовательно, расчет стандартного отклонения становится более сложным (см. уравнение 6):

[6]

где             W – стандартное отклонение для серии измерений отсчетов;

- среднее значение числа отсчетов;

n – значение результата одного измерения числа отсчетов;

N – полное число произведенных измерений.

Пример 5 показывает, как это можно применить набору данных.

Пример 5

Вопрос

Результаты измерения отсчетов одном и том же образце приведены ниже.  Найдите стандартное отклонение числа отсчетов.

№ измерения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n 10 9 7 10 9 12 7 10 12 10

Решение

Этап 1       Сначала рассчитайте среднее значение n (), складывая все результаты измерения отсчетов, и деля их на число измерений (10).

=  = = 9,6

Этап 2       Рассчитайте разность между каждым реультатом измерения и средним значением (n - ).

Этап 3       Возведите в квадрат значения, полученные на этапе 2. ((n – )2).

Значения, полученные на этапах 2 и 3 приведены ниже.

n 10 9 7 10 9 12 7 10 12 10
n - 0,4 -0,6 -2,6 0,4 -0,6 2,4 -2,6 0,4 2,4 0,4
(n – )2 0,16 0,36 6,76 0,16 0,36 5,76 6,76 0,16 5,76 0,16

Этап 4       Сложите все значения (n – )2.

å(n – )2 = 26,4

Этап 5       Число измерений (N) равно 10.  Разделите значение, полученное на этапе 4, на N – 1.

Шаг 6         Вычислите квадратный корень от результата, полученного на этапе 5.

отсчетов

Стандартное отклонение числа отсчетов равно 1,7 » 2 отсчета.