11. Графики

11. Графики

Графики есть способ использования рисунков для изображения математических соотношений между двумя и более измерениями или наборами данных. Эти измерения или наборы данных называются переменными. Графики могут быть использованы по следующему предназначению:

  • чтобы наглядно изобразить информацию как картинку, чтобы сделать ее более доступной для понимания. График представляет собой математическое уравнение связи между двумя переменными.
  • Чтобы показать связь между переменными. Например,  скорость счета, получаемая при регистрации ионизирующего излучения от радиоактивного источника, уменьшается со временем. Это может быть показано графически, помещая на рисунке значения скорости счета в определенные моменты времени.
  • Чтобы оценить неизвестные значения переменных, которые не могут быть измерены, (может быть, потому, что они лежат за пределами области собранных данных). Например, график зависимости скорости счета от времени может быть использован, чтобы предсказать скорость счета радиоактивного источника в некоторый момент времени в будущем.
  • Чтобы получить информацию, которую можно вывести из данных измерений. Например, время, необходимое для распада половины ядер образца (период полураспада) может быть оценен из графика зависимости скорости счета от времени (это будет объяснено в модуле 2.3.)
  • Чтобы повысить точность данных.

1.1     Свойства графиков

1.1.1     Оси

График имеет две оси: горизонтальную ось, обычно называемую осью x, и вертикальную ось, обычно называемую осью y.  Эти оси градуируются в подходящем масштабе, и точки, изображаются на графике в соответствии со значениями x и y.

Ниже на рис. 3 показано, как наносится точка на обыкновенный график. Данная точка соответствует значению x, равному 3, и значению y, равному 6. Это может быть записано, как точка (3,6).

ось – x axis

Обычно на практике вдоль оси x откладывают значения переменной, с помощью которой осуществляется контроль, а значения другой переменной откладываются вдоль оси  y.  Например, на графике зависимости скорости счета от времени, рассмотренном ранее, время следовало бы отсчитывать вдоль оси x, а скорость счета – вдоль оси y.

1.1.2     Масштабы

На простом графике, изображенном на рис. 3, оси отградуированы в линейном масштабе.  каждая ось разбита на одинаковые деления, достаточные для покрытия диапазона собранных данных. Отметим, что нет необходимости по обоим осям откладывать одинаковые масштабы. Также нет необходимости показывать нулевое начало отсчета. Шкалы могут начинаться с любого числа, если только нет хорошей причины начинать с нуля. (это может в действительности быть точкой, входящей в совокупность данных).

Одна или обе оси могут быть также отградуированы в логарифмическом масштабе.  Это преимущественно используется, если переменной является экспоненциальная функция.  Это также может быть полезно, если числа в множестве данных имеют очень большой диапазон изменения (сотни или тысячи).  В логарифмическом масштабе ось разбита на равные отрезки, соответствующие 100, 101, 102, и т.д.  Каждый из этих больших отрезков называется циклом и разбит делениями, соответствующими логарифмическому масштабу. На рис. 4 приведен пример бумаги, разлинеенной в полулогарифмическом масштабе, на которой масштаб вдоль оси x  линейный, а вдоль оси y – логарифмический.

Она называется двуциклической полулогарифмической бумагой, поскольку имеется два цикла в логарифмическом масштабе. Она может быть использована для графического представления данных от единицы (100) до сотни (102), или от десятка (101) до тысячи (103), или любого другого эквивалентного диапазона. Полулогарифмический масштаб используется для графического изображения данных счета в зависимости от времени для радиоактивного источника.

На рис. 5 приведен пример разграфленной бумаги, на которой обе шкалы сделаны логарифмическими. Двойные логарифмические сетки используются, когда числовые данные, подлежащие графическому изображению, изменяются в большом диапазоне значений.  Примеры можно найти в в справочной литературе.  Важно, чтобы Вы могли читать правильно логарифмические масштабы для того, чтобы извлекать правильную информацию из графиков.

Необходимо тщательно наносить точки на логарифмические масштабы. Очень легко совершить ошибку. Отметим, что логарифмические шкалы не имеют нуля.

1.1.3     Интерполяция и экстраполяция

Можно получать информацию и о точках, находящихся между данными измерений, строя прямые от линии графика вдоль осей x и y. Это называется интерполяцией.  Прямые AB и BC на рис. 6 показывают, как найти с помощью интерполяции значение y, соответствующее значению x = C. Для этого надо восстановить перпендикуляр от значения С на оси  x до пересечения с графиком в точке B.  Это показано с помощью серой пунктирной линии. Горизонтальная линия затем рисуется из B до пересечения оси y. Это показано с помощью другой серой пунктирной линии. Точка, в которой эта линия пересекает ось yдает значение y, соответствующее x = C.

Информация может быть получена для значений, находящихся за пределами данных измерений. (Эти значения могут быть больше или меньше измеренных данных). Этот прием называется экстраполяцией.  На рис. 6 показано, как линия графика может быть экстраполирована для того чтобы найти значение y, для которого x равен нулю. График был продолжен назад до пересечения оси y в точке D.  Это изображено черной пунктирной линией. Точка D дает значение y, соответствующее x, равному нулю.

Важно помнить, что означает график. Интерполяция или экстраполяция могут быть недействительными.

1.1.4     Кривая наилучшего приближения

Когда график построен с использованием данных, полученных из уравнения, например, график зависимости x от y, для которого данные получаются из уравнения y = 2x2, линия или кривая может быть нарисована соединением через все точки. Здесь не будет никаких ошибок в числах (предполагается, что расчеты были сделаны правильно). Графики, используемые в радиационной защите, обычно строятся по экспериментальным данным. Все экспериментальные данные, особенно данные счета, полученные от радиоактивных материалов, будут содержать ошибки. Размер ошибок может быть показан на графике путем изображения планок погрешностей.  (Вы изучите, как рассчитать ошибки в данных счета позже в этом модуле). Линия кривой, построенной на графике, не обязательно должна пройти через каждую помещенную на него точку.  Она должна быть построена так, чтобы точки были равномерно рассеяны по каждой стороне, и она должна пройти между всеми планками погрешностей (предполагая, что они были изображены правильно).  Такая линия называется линией наилучшего приближения (line of best fit). Процесс построения графика и совмещение его с линией наилучшего приближения позволяют увеличить точность определения отдельных данных.

1.1.5     Площадь под графиком

Речь идет о площади между линией графика и осью x. Эта величина имеет некоторый смысл, особенно если вдоль оси x откладывается время.  Площадь может быть точно определена с помощью математической операции, называемой интегрированием.  Однако Вы должны знать, что интегрирование означает площадь под кривой, а изучение операции интегрирования лежит за пределами предмета данного курса. Площадь может быть найдена приближенно путем подсчета квадратиков на миллиметровой бумаге. Два случая, встречающиеся в радиационной защите, где площадь под графиком имеет смысл, приведены здесь:

  • График зависимости числа отсчетов от энергии излучения для данного радионуклида.  Этот тип графика получается в процессе, называемом гамма-спектрометрией, который обсуждается в следующем модуле.  Рис. 8 дает простой пример. Площадь под графиком дает полное число отсчетов для радиоактивного образца.

График зависимости мощности дозы излучения от времени. Площадь под графиком дает полную дозу. Это будет отмечаться позже в данном курсе, когда Вы узнаете о дозах облучения, вызванных поступлением радионуклидов внутрь организма. На рис. 9 дан пример зависимости мощности дозы от времени. Эта кривая показывает, как изменяется мощность дозы для данного органа человеческого тела, вызванная поступлением в него радионуклидов, в течение 50 лет. Площадь под кривой дает полную дозу, приходящуюся на данный орган.

Эти примеры приведены с целью помочь Вам понять, почему площадь под графиком может быть важна при решении задач в радиационной защите. Не беспокойтесь, если Вы не смогли понять этот особый пример на это этапе.

1.2     Примеры графиков

Существует много видов графиков, то только те, которые имеют какое-либо отношение к радиационной защите, рассматриваются здесь. ниже рассматриваются три типа графиков:

  • графики, которые иллюстрируют линейную связь между двумя переменными.
  • графики, иллюстрирующие экспоненциальное соотношение между двумя переменными.
  • графики, для построения которых используется миллиметровая бумага в двойном логарифмическом масштабе, поскольку данные изменяются в широком диапазоне.

1.2.1     Линейные соотношения

В таблице 2 содержатся данные о шести одинаковых радиоактивных источниках. Значение термина «активность» и единиц ее измерения не важна на этом этапе.

Таблица 2

Радиоактивные источники и активность

Количество источников Величина активности
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12

Если данные поместить на график, используя линейные масштабы, он будет выглядеть так, как показано на рис. 10. Число источников (управляемая переменная) отложено по оси x, а активность – по оси y.  Прямая линия может быть проведена через все точки. Это показывает, что существует линейная зависимость.

Для предсказания активности 1,7 источников может быть использована интерполяция, что показано пунктирными линиями на графике. Активность 1,7 источников будет составлять 3,5 единицы.  Этот график продолжен за пределы измеренных точек, чтобы измерить активность 8 источников. Это есть пример экстраполяции.

1.2.2     Экспоненциальные соотношения

В разделе 7, вы познакомились с экспоненциальной функцией ex.  Многие соотношения, используемые в радиационной защите, являются экспоненциальными, например, закон радиоактивного распада, и поэтому Вы должны уметь строить график экспоненциальных данных. Вы также должны уметь извлекать необходимую информацию из этого графика.  Если данные размещены на обыкновенной миллиметровой бумаге, то получится кривая, подобная изображенной на рис. 11.

Если те же самые данные разместить на миллиметровой бумаге с полулогарифмическим масштабом, он выглядит так, как показано на рис. 12.

На данной бумаге представлены 4 логарифмических цикла. Вы можете видеть, что значения переменных, связанных экспоненциальным соотношением, размещенных на бумаге с полулогарифмическим масштабом, образуют прямую линию. Намного легче изобразить прячмую линию, проходящую через точки, чем постараться подогнать кривую.  Другим преимуществом логарифмической оси является то, что на ней можно разместить как небольшие, так и большие числа, с одинаковой степенью точности. Пример приведен в Примере 1.

Пример 1

Вопрос

Используя данные из табл. 3 и строя график на полулогарифмической миллиметровой бумаге, найдите значение y, для которого x равен 7.

Таблица 2

Данные для графика

Значение  y 1.8 3.3 10.4 33 102 310
Значение x 1 2 4 6 8 10

Эти данные из табл. 3 должны быть нанесены на полулогарифмическую миллиметровую бумагу и этот график использован для нахождения y при x = 7.  Сначала постарайтесь построить сам график, а затем используйте его для нахождения требуемой величины. Затем сравните с ответом, помещенным ниже.

Решение

Этап 1            Вы должны, в первую очередь, решить, сколько логарифмических циклов потребуется использовать на миллиметровой бумаге. Значения y пробегают от 1,8 до 310. Один цикл представляет собой значения от 1 до 10; от 10 до 100 есть второй цикл, и от 100 до 1000 есть третий цикл.  Следовательно, три цикла надо использовать на миллиметровой бумаге.

Этап 2                       Постройте масштабные линейки вдоль осей.

Этап 3            Нанесите точки.  Будьте внимательны при нанесении чисел по логарифмической шкале.

Ваш график должен выглядеть так, как показано ниже на рис. 13:

Этап 4            Найдите точку (A) на оси x, в которой x равен 7. Восстановите перпендикуляр из этой точки до пересечения с линией графика..  (AB на рис. 14, размещенном ниже).

Этап 5            Нарисуйте прямую линию из точки B параллельно оси x до пересечения оси y.  (BC на рис. 14, размещенном ниже).

Этап 6            Снимите значение на логарифмической шкале log в точке C.  Будьте при этом внимательны. (C = примерно 56.)

1.2.3     Графики в двойном логарифмическом масштабе

Важным свойством графиков, построенных в двойном логарифмическом масштабе, является то, что Вы имеете возможность корректно извлекать из них информацию. Посмотрите на пример, приведенный на рис. 15.

Отметим, что обе шкалы являются логарифмическими. Ось x представляет собой время, после остановки ядерного реактора.  Вдоль оси y отложена величина радиоактивности топлива (TБк или ТераБеккерели) на единицу мощности реактора (MВт или мегаВатты).  Время пробегает значения от одного до 1 000 дней, а значения радиоактивности – от 1 000 до 100 000 TБк, поэтому можно использовать логарифмический масштаб для того, чтобы покрыть большой диапазон изменения данных. В данный момент неважно, понимаете ли Вы смысл величин, отложенных по оси y.  Только убедитесь, что Вы можете читать шкалы, оценивая радиоактивность через 10 дней и через 120 дней. Затем посмотрите ответ, помещенный ниже.

Если Вы восстановите перпендикуляр от оси x в точке, соответствующей 10 дням, до пересечения с графиком, и затем нарисуете горизонтальную прямую линию до пересечения оси y, то точка пересечения на оси yдаст Вам значение радиоактивности через 10 дней. Это значение приблизительно составляет 2 x 104 (или 20 000) TБк/MВт.  Проделайте то же самое для момента времени 120 дней.  Точка пересечения оси yдаст значение, приблизительно равное 7 x 103 (или 7 000) TБк/MВт.