10. Экспоненциальные функции

10. Экспоненциальные функции

Введение в экспоненциальные функции

Напомним, что логарифма числа есть, по определению, степень, в которую должно быть возведено основание, чтобы дать число, от которого берется логарифм

ln y = x [1]

Если жто определение применить к числу, которое равно ex (y = ex), то:

ln ex = x [2]

Поскольку e постоянная, ex зависит от числа x.  Мы таким образом говорим, что ex есть функция x. К тому же поскольку x есть показатель степени e, ex известна как экспоненциальная функция.

Экспоненциальные функции очень важны в радиационной защите, поскольку они дают полезное математическое описание физических явлений, таких как радиоактивный распад. Более того, соотношение ln ex = x является очень важным соотношением, которое используется для вывода уравнений радиактивного распада и периодов полураспада.

Заметим по поводу уравнения 2, что если мы хотим преобразовать ex в обычное число, нам нужно взять его ln.  Это факт необходимо помнить при работе с уравнениями радиоактивного распада.

Для того, чтобы преобразовать ex в обычное число, Вы должны взять его натуральный логарифм (ln).

3.2     Как найти значения экспоненциальных функций

Мы находим значения экспоненциальных функций точно таким же способом, как находим антилогарифмы натуральных логарифмов. Это может быть показано следующим образом:

Как отмечалось выше:

ln ex = x [1]

Беря антилогарифм от обеих сторон, получим:

ex = ln-1 x [2]

Следовательно, если мы находим антилогарифм значения натурального логарифма, то мы можем тем самым найти значение экспоненциальной функции.

Нахождение значений экспонент с помощью таблиц натуральных логарифмов подробно описано в приложении B. В общем случае Вы можете найти значение экспоненциальной функции, нажимая кнопку ‘shift’ или ‘inverse’ на Вашем калькуляторе, затем кнопку ‘ln’ либо перед, либо после введения числа, антилогарифм которого Вы хотите найти. Отметим, что Ваш калькулятор может содержать кнопку ‘ex’ над кнопкой ‘ln’.  Попробуйте рассчитать следующие экспоненты:

a)    e1

b)    e3.5

c)    e-2

Вы должны получить ответы a) 2,718 (т.е. e) b) 33,115 и c) 0,135

3.3     Работа с натуральными логарифмами и экспоненциальными функциями

Многие расчеты радиоактивного распада потребуют от Вас способности работать с уравнениями, содержащими натуральные логарифмы и экспоненциальные функции. Поэтому важно, чтобы Вы попытались запомнить правила работы с уравнениями из раздела 2.2 и правила работы с логарифмами из раздела 4.4, так как эти правила особенно полезны при работе с уравнениями, описывающими радиоактивный распад.

3.3.1     Использование правил работы с уравнениями

Из раздела 2.2 Вы помните, что все, что мы делаем с одной частью уравнения, мы должны делать то же самое с другой его частью. Если у нас есть уравнение:

a = ex [1]

и мы желаем найти x, то это можно сделать, вычисляя значение логарифма ln от каждой из сторон уравнения:

ln a = ln ex [2]

Но              ln ex = x,

поэтому     ln a = ln ex = x.

Следовательно,

ln a = x [3]

где a = ex

Это важное правило следует помнить, когда оно будет использоваться в последующих модулях, чтобы показать, как можно работать с уравнениями радиоактивного распада.

a = ex есть то же самое, что и ln a = x.

3.3.2     Использование правил логарифмирования

Из раздела 7.1, нам известно, что

ln ex = x                                                                                                [1]

Это свойство также может быть продемонстрировано с использованием правил работы с логарифмами. Напомним, что:

logb (m)n = n logb m [2]

и

logb b = 1                                                                                              [3]

Следовательно:

ln ex = x ln e = x [4]

Правила работы с логарифмами полезны для преобразования уравнений радиоактивного распада.